Личный кабинет
Подробное описание документа
Е. А. Кузнецова
Алгоритмы наилучших рациональных аппроксимаций непрерывных функций: выпускная квалификационная работа : студенческая научная работа / Е. А. Кузнецова ; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Факультет информатики, математики и компьютерных наук, Кафедра прикладной математики и информатики. - Нижний Новгород, 2018. -
Тема аппроксимации функций актуальна, потому что она позволяет представлять сложную функцию другой, более простой в использовании. Нахождение наилучших аппроксимаций функций – это также актуальная тема, поскольку на данный момент аппроксимация функций в норме Чебышева не так хорошо изучена, как, например, в квадрате нормы. Во втором случае используется именно минимум квадрата нормы, а не просто норма, поскольку квадрат даёт гладкую функцию, а норма - функцию не дифференцируемую в точке минимума. Так, для второго случая существует хорошо известный метод, а для первого универсального метода нет. Главной задачей данной работы является сравнение нескольких алгоритмов вычисления наилучших дробно-рациональных аппроксимаций непрерывных функций и формирование умений применения алгоритмов при решении конкретных задач. Если же более точно, цель работы – анализ алгоритма Ремеза, алгоритма спуска и представления задачи нахождения наилучшей аппроксимации как решение задачи линейного программирования, написание программной реализации указанных алгоритмов для получения результатов для некоторых примеров функций. Для решения поставленной задачи была изучена и систематизирована литература по теме аппроксимаций (в частности, наилучших), написаны программы трёх указанных ранее алгоритмов на трёх языках (C , Matlab, Maple – разные языки для получения навыков с аппроксимациями в разных средах для личного опыта), а также были использованы встроенные функции пакета chebfun среды Matlab. Встроенные функции и программные реализации необходимы были для проведения вычислительных экспериментов. В результате изучены три алгоритма по нахождению наилучших аппроксимаций функций, а также некоторые другие способы аппроксимации (например, интерполяция), выделены их особенности, также проведено сравнение алгоритмов по скорости сходимости на конкретных примерах и, как следствие, получены навыки реализации алгоритмов в трёх разных средах. В процессе выполнения работы я пришла к выводу, что нет универсального метода нахождения наилучшей аппроксимации, нужно исходить из условий конкретной задачи. К личному вкладу в данной работе можно отнести теоретическую систематизацию тем некой аппроксимационной базы, а также программную реализацию алгоритмов в полиномиальном случае (алгоритм Ремеза и представление задачи НРП как решение задачи ЛП) и в случае с функцией заданного вида (алгоритм спуска). Так, алгоритм Ремеза в среде Matlab реализован функцией remez(), но встроенной функции для нахождения наилучшей аппроксимации двумя другими рассматриваемыми мной алгоритмами нет ни в одной из упомянутых ранее сред. Кроме того, в работе были выполнены эксперименты, в которых алгоритм Ремеза имеет преимущество в использовании перед другими методами. Однако полученный результат нельзя распространить на весь класс непрерывных функций, поскольку каждая функция может обладать уникальными свойствами, да и условия задач могут отличаться от поставленных мной в работе.
